هندسه ی خوددوگان و پادخوددوگانِ پاددوسیته ی 3 بعدی

یکی از حل هایِ دقیقی که برای معادلاتِ اینشتین در دنیای تهی نوشته شده، حل پاددوسیته است. می توان رویه های پاددوسیته با ابعاد مختلفی تعریف کرد؛ آن چه به تحقیقاتِ ما مربوط است رویه ی پاددوسیته با دو بعد فضایی و یک بعد زمانی است. در ضمنِ مرورِ برخی کارهای قبلی، رسم الخطی را توسعه می دهیم و که بسیار به «کِت و برا»ی دیراک شبیه است و در آن مختصاتِ فضازمان so(2,2) به صورتِ یک کِت ارائه می شود. سپس بردارهای کیلینگِ رویه ی پاددوسیته در فضازمانِ so(2,2) و یکی از انواعِ دسته بندی های آن ها را، که به عنوانِ خوددوگان و پادخوددوگان شناخته می شود، معرفی می کنیم. با استفاده از رسم الخطی که معرفی کردیم، همراه با تعمیم یکی از کارهای قبلی، شرطِ راستای کیلینگ بودنِ یکی از مختصاتِ رویِ رویه را به کار می گیریم و نشان می دهیم که «امکان ندارد هر دو راستای کیلینگِ یک رویه ی پاددوسیته خوددوگان (پادخوددوگان) باشند» و «بستگیِ مختصاتِ فضازمانِ پیرامونی به مختصه ی غیرِکیلینگِ رویِ رویه ی پاددوسیته فقط از طریق یک کِت تعیین می شود که ، به دلیلِ شرطِ پاددوسیته، اندازه ی آن با جذرِ شعاعِ فضای پاددوسیته برابر است». سپس کلی ترین متریکِ رویه های پاددوسیته با دو راستای کیلینگ را به دست می آوریم، که شش مولفه ی غیر بدیهی دارد. شرایطِ لازم برای قطری کردنِ متریک را بررسی می کنیم و نشان می دهیم این شرایط همیشگی نیستند و مثال هایی با مولفه های g_r? و g_r? ِ غیرصفر وجود دارند. مثالِ قبلی را با متریکِ به دست آمده مطابقت می دهیم. نهایتاً یک مثالِ جدید را، با مولفه های g_r? و g_r? ِ غیرصفر، معرفی می کنیم و متریک و نقاطِ تکینگیِ آن را به دست می آوریم. سپس برای این متریک لاگرانژی می نویسیم و ثابت های حرکت را به دست آورده، ژئودزی های نورگونه ی آن را محاسبه می کنیم. عبورِ ژئودزی های نورگونه از مبدأ را، که یکی از تکینگی های این متریک است، از دید ناظرِ ویژه و ناظرِ بی نهایت دوردست بررسی می کنیم و در مورد تغییرِ ماهیتِ مختصه ی r هنگامِ عبور از برخی نقاطِ تکینِ دیگر بحث می کنیم.